Mathématiques · 6e année

Compétences

• Multiplier des entiers : les règles des signes Multiplie deux entiers relatifs avec les règles des signes (−4 × −3 = 12, −4 × 3 = −12).
• Diviser des entiers et le lien avec la multiplication Divise des entiers relatifs avec les règles des signes et vérifie en multipliant (−12 ÷ 3 = −4 car −4 × 3 = −12).
• Aisance avec les signes et calculs mixtes Retrouve de tête produits et quotients signés et choisit le bon signe dans des enchaînements (−2 × 5 + 3 = −7).
• Fractions et décimaux négatifs sur la droite Place et range −¾, −0,5 et 0,2 sur une même droite graduée (−¾ < −0,5).
• Additionner et soustraire des nombres rationnels Additionne et soustrait des fractions et des décimaux signés (−¾ + 0,25 = −½).
• Les familles de nombres Range les nombres en naturels, entiers relatifs, rationnels et « pas une fraction » (π, √2 : simple idée).
• Densité : il y a toujours un nombre entre deux Trouve un nombre entre deux fractions ou décimaux donnés et explique pourquoi cela ne s'arrête jamais (entre 0,3 et 0,31 il y a 0,305).
• Distance entre deux nombres Trouve la distance avec |a − b|, même en traversant zéro (de −7 à 4, c'est 11).
• Repérer les chiffres significatifs d'un nombre Repère les chiffres significatifs en ignorant les zéros du début (0,004 73 en a 3 ; 48 000 peut en avoir 2).
• Arrondir à 1, 2 ou 3 chiffres significatifs Arrondit à 1, 2 ou 3 chiffres significatifs (48 215 → 48 000 ; 0,004 73 → 0,0047).
• Précision adaptée et estimation à 1 chiffre significatif Choisit une précision raisonnable selon le contexte (une longueur mesurée, une population) et estime 4,8 × 21 par 5 × 20.
• Écrire les grands nombres en notation scientifique Écrit les grands nombres sous la forme A × 10ⁿ avec 1 ≤ A < 10 et revient en arrière (4 500 000 = 4,5 × 10⁶).
• Comparer des nombres en notation scientifique Range de grands nombres d'abord par l'exposant, puis par A (3 × 10⁸ > 9 × 10⁷).
• Puissances de dix nulles et négatives en décimaux Lit 10⁰ = 1, 10⁻¹ = 0,1, 10⁻² = 0,01 comme des colonnes de valeur de position et passe des puissances de dix aux décimaux.
• Priorités opératoires avec des négatifs Calcule avec des négatifs et des parenthèses (−3 × (4 + 5) = −27 ; 2 − 3 × −4 = 14).
• Puissances et racines dans les expressions Calcule avec carrés, cubes et racines dans le bon ordre (2 + 3² = 11 ; √16 − 2³ = −4).
• Modèle d'aire de la multiplication posée Explique 23 × 14 avec quatre morceaux d'un modèle d'aire et le relie à la méthode écrite.
• La distributivité Utilise a(b + c) = ab + ac pour calculer (7 × 98 = 7 × 100 − 7 × 2) et expliquer des astuces de calcul mental.
• Modèle d'aire du produit de deux binômes Montre (x + 3)(x + 2) comme quatre morceaux d'aire (simple découverte).
• Multiplier des puissances de même base Applique aᵐ × aⁿ = aᵐ⁺ⁿ avec de petites puissances entières (2³ × 2⁴ = 2⁷ ; simple découverte).
• Connaître par cœur carrés et cubes Connaît les carrés jusqu'à 15² et les cubes jusqu'à 5³.
• Puissances de 2 et suites de doublements Connaît les puissances de 2 jusqu'à 2¹⁰ (2⁸ = 256) et s'en sert comme repères de doublement.
• Estimations de Fermi à 1 chiffre significatif Découpe une grande question en petites parties approchées à 1 chiffre significatif et multiplie (cheveux sur une tête ≈ 100 000).
• Vérifier par une estimation Juge si une réponse est raisonnable en arrondissant d'abord (48 × 21 fait environ 1 000).
• Vérifier par l'opération inverse ou par une autre méthode Vérifie un résultat en le défaisant ou en le résolvant autrement, et repère lequel de trois élèves se trompe.
• Racines carrées des carrés parfaits Trouve la racine carrée des carrés parfaits (√144 = 12) et sait qu'elle défait le carré.
• Racines cubiques des cubes parfaits Trouve la racine cubique des cubes parfaits (∛64 = 4) et sait qu'elle défait le cube.
• Estimer des racines qui ne tombent pas juste Place √20 entre 4 et 5, puis l'affine à 4,4 par essais.
• Décomposition en facteurs premiers avec les puissances Écrit 360 = 2³ × 3² × 5 avec un arbre de facteurs.
• PGCD à partir des facteurs premiers Lit le PGCD sur les premiers communs (le PGCD de 36 et 60 est 2² × 3 = 12).
• PPCM à partir des facteurs premiers Lit le PPCM sur tous les premiers avec leur plus grande puissance (le PPCM de 12 et 18 est 36).
• Racines de carrés et cubes parfaits par factorisation Trouve la racine carrée ou cubique de grandes puissances parfaites en divisant les exposants par 2 ou par 3 (√(2⁴ × 3²) = 12).
• Compter les diviseurs et algorithme d'Euclide Compte les diviseurs grâce aux exposants (2³ × 3² en a 4 × 3 = 12) et trouve un PGCD par restes successifs.
• Restes, horloges et régularités numériques Utilise les restes (jour de la semaine dans 100 jours, dernier chiffre de 7ⁿ), trouve des régularités dans les nombres triangulaires, carrés, de Fibonacci et parfaits, et utilise la racine numérique (preuve par neuf) pour contrôler sommes et produits.
• Additionner et soustraire des fractions signées Additionne et soustrait des fractions négatives (−½ + ¼ = −¼ ; ¾ − 1½ = −¾).
• Multiplier et diviser des fractions signées Multiplie et divise des fractions négatives (−½ ÷ ¼ = −2), ainsi que des décimaux signés ou des paires décimal-fraction (−0,5 × 0,2 = −0,1 ; −1,2 ÷ 0,4 = −3).
• Fraction d'une fraction Trouve ¾ de ⅖ = 3/10 par pliage ou modèle d'aire.
• Fractions complexes Simplifie une fraction sur une fraction (½ ÷ ¾ s'écrit (1/2)/(3/4) = 2/3).
• Taux unitaires avec des fractions Trouve un taux à partir de quantités fractionnaires (½ mile en ¼ d'heure fait 2 miles par heure).
• Comparer des fractions par produits en croix Compare 5/7 et 8/11 par produits en croix (55 contre 56).
• Fractions en décimaux : finis ou périodiques Convertit par division (⅐ = 0,142857…) et teste quand un décimal s'arrête.
• 0,999… = 1 et les cinq visages d'une fraction Prouve que 0,999… = 1 avec ⅓ + ⅓ + ⅓ et passe d'une vue à l'autre de ⅔ : partie-tout, nombre, quotient, rapport, opérateur.
• Le pourcentage comme multiplicateur Utilise ×1,2 pour +20 % et ×0,85 pour −15 %, y compris au-dessus de 100 % (130 % de 40 = 52).
• Variations en pourcentage successives Enchaîne des multiplicateurs (deux hausses de 10 % font ×1,21 ; +10 % puis −10 % ne ramène pas au départ).
• Pourcentages inversés Retrouve la valeur de départ en divisant par le multiplicateur (après 20 % de réduction on a 48, donc 60).
• Erreur en pourcentage Exprime une erreur en pourcentage de la vraie valeur (estimé 45, réel 50, erreur de 10 %). Arithmétique pure seulement.
• Rapports 1 : n et rapports équivalents Réécrit 4 : 10 en 1 : 2,5 et compare des rapports.
• Partager selon un rapport à trois parts Partage une quantité selon un rapport à 3 parts (60 en nombre pur selon 2 : 3 : 5 donne 12, 18, 30), avec des unités mélangées.
• Proportionnalité directe et coefficient k Utilise y = kx et trouve k à partir d'un couple (3 livres coûtent 12, donc k = 4).
• Proportionnalité inverse Reconnaît que plus d'ouvriers, c'est moins de jours (xy constant : 6 ouvriers mettent 4 jours, donc 3 en mettent 8).
• Raisonnement additif ou multiplicatif Distingue « ajouter la même quantité » de « multiplier par le même facteur » (passer d'une recette pour 2 à une pour 5 en ajoutant 3 est faux).
• Écrire des expressions à partir de mots Traduit des mots en expressions (3 de plus que le double de n s'écrit 2n + 3).
• Termes, coefficients et termes semblables Nomme termes et coefficients et repère les termes semblables (3a et 5a sont semblables ; 3a et 3b ne le sont pas).
• Réduire une expression Simplifie 3a + 2a − a = 4a et 3a + 2b − a + b = 2a + 3b.
• Remplacer par des valeurs positives Calcule des formules en remplaçant les lettres (périmètre P = 2l + 2w avec l = 5, w = 3).
• Remplacer par des valeurs négatives Remplace par des négatifs (a = −2 dans 3a + 5 donne −1 ; a² donne 4).
• Développer avec une seule parenthèse Développe 2(x + 3) = 2x + 6 et 3(2x − 1) = 6x − 3.
• Machines à fonctions et calcul à rebours Lit une machine à une ou deux étapes et l'inverse (×3 + 2 donne 17, donc l'entrée est 5).
• Résoudre des équations à une ou deux étapes Résout 3x + 5 = 20 en équilibrant et vérifie la réponse (x = 5).
• Mettre un problème en équation Choisit l'équation, puis résout (« 3 stylos et une règle à 2 € coûtent 11 € » donne 3p + 2 = 11, en nombres purs).
• Le terme général d'une suite arithmétique Trouve le terme général à partir de la différence constante (5, 8, 11 … donne 3n + 2) et le 50e terme. Vu seulement ici.
• Les parties d'un cercle et l'origine de π Nomme rayon, diamètre et circonférence, et trouve le rapport C ÷ d ≈ 3,14 en faisant rouler.
• La circonférence Utilise C = πd et C = 2πr (d = 10 cm donne environ 31,4 cm).
• L'aire d'un disque Utilise A = πr² et distingue r² de 2r (r = 3 donne environ 28,3).
• Comparer des cercles Compare la taille de cercles en contexte (une pizza de 16 cm est-elle plus grande que deux de 10 cm ?).
• Volume d'un pavé droit par couches Calcule le volume comme aire de la base × hauteur par couches (3 × 4 × 5 = 60), et reconnaît un prisme comme un solide à section constante, en nommant cette section.
• Volume d'un prisme à base triangulaire Calcule le volume d'un prisme triangulaire comme aire du triangle × longueur.
• Volume d'un prisme circulaire (le cylindre) Calcule V = πr²h comme aire de la base × hauteur.
• Vitesse, distance et durée Calcule vitesse = distance ÷ durée et réarrange (120 km en 2 h font 60 km/h ; 60 km/h pendant 3 h font 180 km).
• Convertir des unités composées et des taux de densité Convertit km/h ↔ m/s (72 km/h = 20 m/s), utilise des g par cm³ et garde les unités.
• Angles sur une droite et autour d'un point Utilise 180° et 360° pour trouver des angles manquants avec une raison (« les angles sur une droite font 180° »).
• Angles opposés par le sommet Sait que les angles opposés sont égaux et donne la raison.
• Angles correspondants et alternes-internes Repère et utilise les angles correspondants et alternes-internes entre parallèles (les formes en F et en Z).
• Angles co-internes et enchaînements d'angles Utilise les angles co-internes (somme 180°) et enchaîne deux règles ou plus.
• Rédiger les raisons en angles Écrit une courte raison valable à chaque étape et repère celles qui ne le sont pas.
• Médiatrices et bissectrices Construit une médiatrice et une bissectrice au compas et à la règle.
• Construire un triangle à partir de ses trois côtés Construit un triangle à partir de trois côtés (CCC) avec des arcs de compas.
• Inégalité triangulaire Sait que deux côtés doivent avoir une somme supérieure au troisième (3, 4, 8 ne se ferme pas).
• Trois côtés égaux et triangles superposables (idée) Sait que trois côtés égaux imposent le même triangle (simple découverte).
• Agrandir avec un facteur d'échelle entier Agrandit une figure sur une grille depuis un centre avec un facteur d'échelle de 2 ou 3.
• Facteurs d'échelle fractionnaires et recherche du facteur Agrandit par ½ et trouve le facteur d'échelle entre figures semblables (de 6 cm à 15 cm, c'est ×2,5).
• Les longueurs changent par k, les aires par k² Sait que doubler les longueurs multiplie l'aire par 4 (k = 3 donne 9 fois).
• Tracer un nuage de points Place des données par paires (taille et envergure des bras) avec des axes bien choisis.
• Décrire une corrélation Décrit une corrélation positive, négative ou nulle et repère les valeurs aberrantes.
• Droite d'ajustement à l'œil Trace une droite d'ajustement à l'œil et s'en sert pour estimer une valeur.
• Corrélation n'est pas causalité Distingue corrélation et causalité dans des affirmations simples.
• Comparer deux séries : moyenne et étendue Défend une affirmation avec la moyenne et l'étendue (l'équipe qui a la meilleure moyenne mais une plus grande étendue est moins régulière).
• Moyenne pondérée (petite introduction) Trouve une moyenne quand certaines valeurs comptent plus (2 quiz à 70 et 1 examen à 85, coefficients 1 : 1 : 2).
• Lister les issues de façon systématique Liste toutes les issues de deux événements dans une liste ordonnée ou un tableau (pièce et roue).
• Tableaux de l'univers des possibles Construit un tableau 6 × 6 pour deux dés et compte les cases favorables (P(somme 7) = 6/36).
• Arbres de probabilités Dessine un arbre pour deux événements et compte ou multiplie le long des branches.
• La probabilité comme fraction Donne des probabilités en fractions simplifiées et vérifie que leur somme vaut 1.
• Expérience et théorie Compare les fréquences observées à la théorie et sait que plus d'essais rapprochent des deux.
• Jeux équitables Décide si un jeu est équitable à partir des issues possibles et le corrige.
• Prouver avec des schémas Montre qu'une affirmation sur les nombres est vraie avec un schéma (impair + impair = pair avec des paires de points).
• Prouver avec des lettres Prouve avec des lettres (n + (n+1) + (n+2) = 3(n+1) ; 2k est pair).
• Contre-exemples Réfute une affirmation fausse avec un seul contre-exemple (« un carré est plus grand que le nombre » : 0,5² = 0,25).
• Conjecturer, tester, décider Teste une affirmation sur une régularité avec plusieurs cas et décide : vraie, fausse ou pas encore prouvée.
• Trouver et classer les erreurs Trouve une erreur et la range : signe, valeur de position, retenue ou unité.
• Expliquer et corriger une méthode Écrit ce qui a mal tourné et le corrige (un élève ajoute l'unité mais oublie de convertir).