Mathématiques · 5e année

Compétences

• Lire et écrire les nombres jusqu'aux milliards Lit et écrit un nombre en lettres et en chiffres avec les bons groupes (8 431 000 se lit huit millions quatre cent trente et un mille).
• Sentir la taille d'un milliard Explique qu'un milliard, c'est mille millions, en le construisant avec des piles de milliers et de millions.
• Comparer et ranger de grands nombres Range 4 205 000, 4 250 000 et 420 500 en regardant le plus haut rang qui diffère.
• Arrondir de grands nombres dans une histoire Arrondit un nombre au rang qui convient à l'histoire (8 431 000 habitants, c'est environ 8 millions).
• Nombres négatifs : ordre et valeur absolue Range −7, 2, −3 et 0 et dit que −4 est à 4 de zéro (valeur absolue).
• Additionner et soustraire des entiers relatifs Calcule −3 + 5 et 2 − 6 en sautant sur une droite graduée.
• Une seule droite pour tous les nombres Place 0,7, ¾, −1,5 et 3 ensemble sur une même droite, aux bons endroits.
• Multiplier et diviser par 10, 100, 1000 Décale les chiffres pour calculer 4,7 × 100 = 470 et 3 500 ÷ 1 000 = 3,5, et explique le décalage.
• Multiplier et diviser par 0,1 et 0,01 Voit que ÷ 0,1 revient à × 10 et × 0,01 à ÷ 100 (6 × 0,1 = 0,6).
• Lire et écrire les puissances de 10 Écrit 1 000 = 10³ et lit 10⁵ comme 100 000.
• Arrondir un décimal à une position donnée Arrondit 3,476 au dixième (3,5) et au centième (3,48).
• Choisir un arrondi adapté à la situation Choisit jusqu'où arrondir une longueur, une foule ou une recette, et explique pourquoi.
• Valeur des chiffres d'un décimal jusqu'aux millièmes Dit ce que vaut chaque chiffre de 3,472 et écrit 3,47 = 3 + 4/10 + 7/100.
• Ordonner et placer des décimaux (millièmes) Range 0,305, 0,35 et 0,3 et les place sur une droite graduée zoomée au millième.
• Multiplier des grands nombres par écrit Calcule 3 482 × 26 avec la multiplication posée et vérifie avec une estimation.
• Multiplier et diviser un décimal par un entier Calcule 3,45 × 6 et 7,2 ÷ 4 avec une méthode écrite.
• Décimal × décimal Utilise le changement d'échelle pour voir que 0,3 × 0,4 = 0,12 (3 × 4 = 12, puis ÷ 100).
• Division posée par un nombre à 2 chiffres Calcule 925 ÷ 25 avec une méthode écrite.
• Exprimer le reste selon l'histoire Donne 50 ÷ 8 sous la forme 6 reste 2, 6 ¼ ou 6,25, selon ce que demande l'histoire.
• Décimal ÷ décimal (découverte) Multiplie les deux nombres par 10 pour que 1,2 ÷ 0,3 devienne 12 ÷ 3 = 4.
• Priorités des opérations Calcule 2 + 3 × 4 = 14 et 18 − 6 ÷ 3 = 16.
• Parenthèses et exposants dans les expressions Calcule 2 + 3² × 4 et (2 + 3)² × 4 et voit que les parenthèses changent le résultat ; écrit une expression avec parenthèses pour une histoire (3 × (4 + 5)).
• Choisir une méthode Choisit entre calcul mental, posé ou calculatrice pour 4 000 − 1 998 et 6 284 ÷ 17, et vérifie avec une estimation.
• Addition et soustraction posées (entiers et décimaux) Calcule 12,5 + 3,482 et 20 − 7,35 en colonnes, en alignant les virgules.
• Calcul mental : 2 chiffres × 1 chiffre Calcule 48 × 6 en décomposant : 40 × 6 + 8 × 6.
• Multiples de 10 et de 100 de tête Calcule 70 × 300 = 21 000 à partir de 7 × 3.
• Décimaux simples de tête Calcule 0,6 + 0,7 = 1,3 et 2,5 × 4 = 10 de tête.
• Déduire de nouveaux faits à partir de faits connus Trouve 4 × 0,3 = 1,2 à partir de 4 × 3 = 12 et les ⅜ de 24 à partir de ⅛ de 24.
• Pourcentages usuels d'une quantité Trouve 50 %, 10 % et 1 % de 360 de tête (180, 36, 3,6).
• 25 % et 75 % en coupant en deux et en quatre Trouve 25 % de 80 comme la moitié de la moitié, et 75 % comme 3 quarts.
• Estimer avant de calculer Arrondit 4,8 × 52 en 5 × 50 et s'attend à environ 250 avant de calculer.
• Repérer les réponses fausses d'un facteur dix Sait que 4,8 × 52 ne peut pas faire 24,96 ni 2 496, en vérifiant l'ordre de grandeur.
• Diviseurs communs Liste les diviseurs de 12 et de 18 et repère les diviseurs communs (1, 2, 3, 6).
• Nombres premiers inférieurs à 100 Liste les nombres premiers inférieurs à 100 et teste si un nombre est premier (91 est-il premier ? 7 × 13, non).
• Décomposition en facteurs premiers (découverte) Construit un arbre de facteurs pour 60 = 2 × 2 × 3 × 5.
• PGCD et nombres premiers entre eux Trouve le PGCD de 12 et de 18 (6) et repère que 8 et 15 sont premiers entre eux.
• Multiples communs et PPCM Trouve que deux bus partis ensemble se retrouvent après 12 minutes (PPCM de 4 et 6).
• Critères de divisibilité par 2, 3, 4, 5, 6, 9, 10 Dit sans diviser que 1 236 est divisible par 3 et par 4, mais pas par 9.
• Divisibilité par 8 et par 11 (découverte) Explore pourquoi 1 232 est divisible par 8 (trois derniers chiffres) et 121 par 11 (somme alternée).
• Carrés et cubes Connaît les carrés jusqu'à 12² et les cubes jusqu'à 5³ et lit les notations ² et ³.
• Suites de nombres triangulaires, carrés et cubes Voit que 1, 3, 6, 10 augmentent de 2, 3, 4 et que deux nombres triangulaires voisins s'additionnent en un carré.
• Trouver un dénominateur commun Écrit ⅔ et ¾ sous la forme 8/12 et 9/12.
• Additionner et soustraire des fractions inégales Calcule ⅔ + ¾ = 1 5/12 et ⅚ − ¼ = 7/12.
• Additionner et soustraire des nombres mixtes Calcule 3 ½ − 1 ¾ = 1 ¾ en regroupant.
• Comparer et ranger des fractions supérieures à 1 Range 7/4, 1 ½, 5/3 et 2 ⅙.
• La fraction comme division Lit ¾ comme 3 ÷ 4 et écrit 5 ÷ 2 sous la forme 2 ½.
• Une fraction multipliée par un entier Calcule ⅗ × 20 = 12 et 4 × ⅔ = 2 ⅔.
• Fraction × fraction avec un modèle d'aire Colorie les ⅔ de ¾ sur une grille pour voir que ⅔ × ¾ = ½ et sait que le résultat est plus petit que chaque fraction.
• Fraction unitaire ÷ entier, entier ÷ fraction unitaire Calcule ⅓ ÷ 2 = ⅙ et 4 ÷ ⅓ = 12.
• Fraction ÷ fraction (découverte) Voit que ¾ ÷ ¼ = 3 et 4 ÷ ⅔ = 6 en comptant combien y tiennent.
• Retrouver le tout à partir d'une partie Calcule que si les ⅗ d'un nombre valent 30, ce nombre est 50.
• Simplifier des fractions Simplifie 12/18 en ⅔ en divisant le haut et le bas par le diviseur commun 6.
• Passer des fractions aux décimaux et aux pourcentages Convertit ⅛ = 0,125 = 12,5 % en divisant, lit un pourcentage comme « sur 100 » sur un carré de 100 (37 % = 37/100 = 0,37) et passe d'une forme à l'autre pour les valeurs courantes.
• Ranger fractions, décimaux et pourcentages mélangés Range ⅗, 0,58 et 61 % du plus petit au plus grand.
• Pourcentage d'une quantité Trouve 15 % de 80 = 12 comme 10 % + 5 %.
• Augmentation et réduction en pourcentage Calcule une remise de 25 % sur 40 € (30 €) et une hausse de 10 % sur 60 (66).
• Quel pourcentage une quantité est d'une autre Dit que 12 sur 48, c'est 25 %.
• Retrouver le tout à partir d'un pourcentage Calcule que 45 est 30 % de 150.
• Notation des rapports et simplification Écrit 6 rouges pour 4 bleus sous la forme 6:4 = 3:2 et écrit a:b:c pour trois parties.
• Partager une quantité selon un rapport Partage 20 selon le rapport 3:1 (15 et 5).
• Proportionnalité : valeur unitaire et changement d'échelle Résout « 3 coûtent 12, combien coûtent 7 ? » (28).
• Taux unitaires et vitesse Trouve que 150 km en 3 h, c'est 50 km/h et s'en sert pour prédire une distance.
• Convertir des unités par proportionnalité Convertit 72 km/h en 20 m/s et 250 cm en km.
• Écrire des expressions avec une lettre Écrit n + 5 pour « 5 de plus qu'un nombre » et 3 × n pour « 3 fois un nombre ».
• Remplacer dans une formule Utilise P = 2 × (l + w) avec l = 7 et w = 4 (22).
• Équations à une étape et vérification Résout n + 7 = 15 et 4 × n = 36 et vérifie en remplaçant.
• Équations simples à deux étapes Résout 2n + 3 = 13 en défaisant les étapes (n = 5).
• Paires qui vérifient une équation Trouve les paires avec a + b = 10 et a > b (9 et 1, 8 et 2, ...).
• Énoncer la règle d'une suite selon le rang Dit « 4 × rang + 1 » pour 5, 9, 13, 17.
• Utiliser une règle pour prédire un terme lointain Utilise la règle pour trouver le 50e terme (201).
• Deux suites issues de deux règles Construit deux suites (ajouter 2 depuis 0, ajouter 4 depuis 0) et associe les termes : (2, 4), (4, 8).
• Relations entre deux suites associées Voit que chaque terme d'une suite vaut le double de son partenaire et le dit.
• Convertir des unités métriques avec des décimaux Convertit 2,35 km = 2 350 m et 450 ml = 0,45 l.
• Choisir des unités et convertir en deux étapes Choisit km, m ou cm selon la tâche et convertit des mm en m en passant par les cm.
• Équivalents approximatifs anglo-saxons (facultatif) Sait qu'un pouce vaut environ 2,5 cm, un pied environ 30 cm, un mile environ 1,6 km, une livre environ 450 g et une pinte environ 570 ml.
• Repères personnels Utilise sa main, son pas et sa taille pour estimer une pièce (environ 6 pas), une porte ou une étagère.
• Aire d'un parallélogramme Trouve l'aire d'un parallélogramme comme base × hauteur (6 × 4 = 24).
• Aire d'un triangle Trouve l'aire d'un triangle comme la moitié d'un rectangle base × hauteur.
• Aire et périmètre de figures composées de rectangles Trouve l'aire et le périmètre d'une figure en L en la découpant en rectangles.
• Volume des pavés droits et des assemblages Calcule V = L × l × h en cm³ et en m³ (4 × 3 × 2 = 24 cm³), y compris pour deux blocs collés.
• Volume et contenance : ml et cm³ Sait que 1 ml = 1 cm³ et 1 l = 1 000 cm³ (un cube de 10 cm contient 1 l).
• Convertir des unités de temps Convertit 3 semaines en jours et 2 jours en heures.
• Durées décimales et mixtes Convertit 2,5 h = 150 min et 135 min = 2 h 15 min.
• Lire des horaires et trouver des durées Trouve qu'un bus de 8 h 45 qui arrive à 10 h 20 met 1 h 35 min.
• Trajets en plusieurs étapes à travers minuit Prévoit un voyage avec deux trajets, une attente et une arrivée après minuit.
• L'heure dans un autre fuseau (découverte) Dit que quand il est 10 h à Paris, il est 9 h à Londres.
• Planifier entre fuseaux horaires (découverte) Choisit une heure d'appel raisonnable dans deux villes.
• Comparer des offres selon le prix à l'unité Trouve que 2 pour 3 € (1,50 € l'un) est plus avantageux qu'à 1,75 € l'un.
• Prix après une remise en pourcentage Calcule une remise de 20 % sur 15 € (12 €).
• Rester dans un budget Choisit des articles dont le total fait au plus 20 € après une remise.
• Vérifier un ticket de caisse Trouve la ligne fausse d'un ticket de caisse (mauvaise remise, mauvais prix unitaire).
• Hiérarchie des figures Dit que tout carré est un rectangle et que tout rectangle est un parallélogramme.
• Propriétés qui définissent les quadrilatères Distingue un cerf-volant, un losange et un trapèze par les côtés, les parallèles et les diagonales.
• Les parties d'un cercle Nomme le centre, le rayon, le diamètre et la circonférence.
• Lien entre rayon et diamètre Sait que d = 2r, donc un cercle de rayon 4 cm a un diamètre de 8 cm.
• Angles d'un triangle Trouve l'angle manquant d'un triangle qui a 50° et 60° (70°).
• Angles d'un quadrilatère Trouve l'angle manquant d'un quadrilatère qui a 90°, 80° et 100° (90°).
• Angles opposés par le sommet Sait que lorsque deux droites se croisent, les angles opposés sont égaux (un angle de 65° fait face à un autre de 65°).
• Construire une figure à partir de consignes Trace un triangle de côtés 5 cm, 6 cm et 7 cm avec une règle, un rapporteur et un compas.
• Patrons de solides Dit quels patrons se plient en cube, en pavé droit, en prisme ou en pyramide.
• Vues de dessus, de face et de côté Associe un solide à ses vues de dessus, de face et de côté.
• Coordonnées du premier quadrant dans la vie réelle Lit et place une position comme (4, 7) sur le plan d'un parc.
• Placer des points dans les quatre quadrants Place (−3, 2) et (4, −5) et lit les coordonnées d'un point.
• Compléter des figures avec des coordonnées Trouve le sommet manquant d'un rectangle (par exemple (1, 1), (4, 1), (4, 3) donne (1, 3)) et le symétrique d'un point.
• Lire l'échelle d'une carte Utilise 1 cm : 100 m pour lire que 4,5 cm représentent 450 m.
• Utiliser l'échelle sur des plans Dessine ou lit un plan à une échelle donnée (une pièce de 4 m à 1 cm : 1 m fait 4 cm).
• Translater une figure Glisse une figure de 3 vers la droite et 2 vers le haut et écrit le déplacement en coordonnées.
• Faire la symétrie d'une figure Fait la symétrie d'une figure par rapport à l'axe des y et à une droite donnée et écrit les nouvelles coordonnées.
• Rotation de 90° ou 180° (découverte) Tourne une figure d'un quart de tour (90°) ou d'un demi-tour (180°) autour d'un point et décrit le résultat.
• Mode et étendue Trouve le mode 5 et l'étendue 7 dans 2, 5, 5, 9, 3.
• Moyenne Partage pour égaliser les données et calcule la moyenne (3, 5, 7 donnent 5).
• Quand la moyenne trompe Repère qu'une valeur extrême tire la moyenne (1, 2, 2, 3, 40).
• Médiane Trouve la médiane de 4, 9, 2, 7, 5 en rangeant (5).
• Lire un diagramme circulaire Lit qu'un secteur d'un quart représente 25 % et ¼ du total.
• Tracer un diagramme circulaire (découverte) Transforme 50 %, 30 %, 20 % en diagramme circulaire.
• Graphiques en courbes à deux séries Lit deux courbes sur un même graphique et estime une valeur entre deux points.
• Choisir le bon graphique Choisit un diagramme en barres, un graphique en courbes ou un diagramme circulaire selon les données.
• Repérer un graphique trompeur Remarque un axe tronqué, une échelle absente ou un échantillon biaisé.
• Langage du hasard et échelle de 0 à 1 Place « peu probable » près de 0,2 et « certain » à 1 sur une échelle.
• Probabilités simples sous forme de fractions Écrit la chance d'obtenir un 5 avec un dé comme 1/6 et celle de tirer une bille rouge parmi 3 rouges sur 10 comme 3/10.
• Équitable ou non Dit qu'une roue aux secteurs inégaux est injuste et en conçoit une équitable.
• Expériences et prédictions Prédit 25 piles sur 50 lancers, fait l'expérience et compare.
• Plus d'essais, plus près de la prédiction Voit que 1 000 lancers se rapprochent mieux de la prédiction que 10 lancers.
• Stratégies : remonter à l'envers et essayer-vérifier-ajuster Résout « je pense à un nombre, je le double, j'ajoute 3, j'obtiens 17 » en remontant à l'envers.
• Stratégies : simplifier et chercher une régularité Essaie un cas plus petit pour trouver une régularité avant le grand cas.
• Informations manquantes et en trop Dit quelle information manque ou est inutile dans une histoire.
• Trouver sa propre erreur Trouve l'étape fausse dans une réponse déjà rédigée.
• Toujours, parfois, jamais et contre-exemples Réfute « multiplier agrandit toujours » avec ½ × 6.
• Problèmes à étapes avec fractions, décimaux et pourcentages Résout une histoire en 3 étapes, comme une sortie au magasin, et justifie chaque étape.
• Modèles en barres Dessine un modèle en barres pour « les ⅗ des bonbons sont rouges, 12 sont bleus ».
• La réponse est-elle raisonnable ? Écarte une réponse grâce à une estimation ou au contexte.
• Bien utiliser la calculatrice Entre un calcul correctement, le vérifie avec une estimation et sait quand ne pas l'utiliser.