Pourquoi 34 n'est pas « 3 et 4 » : aider l'enfant à comprendre la valeur de position
Un enfant écrit correctement le nombre 34, le lit à voix haute « trente-quatre » et, pourtant, au fond de lui, voit un trois à côté d'un quatre. Quand vous lui demandez ce que veut dire le 3, il répond « trois ». C'est facile à manquer, puisque l'écriture et la lecture sont justes. Mais l'enfant n'a pas encore saisi l'idée qui fait fonctionner notre système de numération : la valeur d'un chiffre dépend de la place qu'il occupe. Cette idée s'appelle la valeur de position, et c'est sans doute le plus grand pas conceptuel des premières années du primaire. Cet article explique en quoi elle consiste, comment repérer une compréhension fragile et comment en bâtir une solide à la maison.
Écrit pour les enfants de 6 à 8 ans.
Ce que dit vraiment la valeur de position
Dans le nombre 34, le 4 vaut quatre unités et le 3 vaut trois dizaines, soit trente. Le nombre est trente plus quatre. Notre système n'emploie que dix symboles (de 0 à 9) et tire toute sa puissance de la position : un même chiffre ne signifie pas la même chose à chaque rang. Dans 333, le même chiffre revient trois fois et vaut 300, 30 et 3.
C'est une idée ingénieuse, et étonnamment récente à l'échelle de l'histoire humaine. Les plus anciens systèmes de numération, comme les chiffres romains, ne s'en servaient pas, ce qui explique en partie pourquoi calculer avec eux est si pénible. L'écriture positionnelle est ce qui rend possibles l'addition, la soustraction et la multiplication écrites. Pour un jeune enfant, l'apprivoiser représente un véritable saut intellectuel.
Comment savoir si l'idée est comprise
Les enfants peuvent sembler comprendre la valeur de position bien avant de la comprendre. Quelques vérifications en douceur font apparaître la différence.
Demandez ce que le chiffre signifie. Écrivez 34 et demandez : « Que représente le 3? » L'enfant qui maîtrise la valeur de position dira « trente » ou « trois dizaines ». Celui qui voit encore les chiffres comme des nombres séparés dira « trois ».
Demandez lequel est le plus grand. Lequel est le plus grand, 29 ou 31? Les enfants qui ne regardent que les chiffres disent parfois 29, parce que 9 est plus grand que 1. L'enfant qui comprend que 3 dizaines, c'est plus que 2 dizaines répondra 31 aussitôt.
Construire, puis dire. Demandez à votre enfant de former 27 avec des bâtonnets ou des cubes. L'enfant qui a le concept fait deux paquets de dix et sept unités. Celui qui ne l'a pas peut compter 27 unités, ce qui est exact mais montre qu'il n'a aucune idée de la dizaine comme unité.
Demandez « et si on en ajoute un? ». Si 39 gagne un, que se passe-t-il? Les enfants qui comprennent que dix unités forment une dizaine, et que la colonne des unités revient à zéro pendant que celle des dizaines augmente de un, peuvent dire 40 et expliquer pourquoi. Beaucoup disent simplement « quarante » parce qu'ils ont appris la suite, sans pouvoir l'expliquer.
Les confusions de lecture et d'écriture. Les enfants écrivent parfois « trente-quatre » sous la forme 304 (trente, puis quatre) ou inversent les chiffres de nombres comme 14 et 41. Ces erreurs sont fréquentes et signalent le plus souvent une compréhension de la valeur de position encore en formation.
Construire l'idée avec de vrais objets
L'essentiel est de laisser l'enfant regrouper de vraies choses en dizaines, puis de lui faire voir le chiffre écrit comme la trace de ces groupes.
Faire des paquets. Rassemblez des pailles, des bâtonnets de bois ou des pâtes sèches. Comptez-en dix et attachez-les avec un élastique. Comptez-en dix autres et faites de même. Formez maintenant 34 avec trois paquets de dix et quatre objets seuls. Compter un tas de 34 objets un par un est long; compter 10, 20, 30, 31, 32, 33, 34 va vite. L'enfant découvre pourquoi regrouper est utile, et c'est la moitié de l'objectif.
Cadres à dix cases et matériel de base dix. Si vous avez du matériel de base dix (petits cubes pour les unités, longues barres pour les dizaines), servez-vous-en. Sinon, des bandes de dix carreaux découpées dans du papier quadrillé fonctionnent tout aussi bien. Le point important est qu'une dizaine est une seule chose, une barre, qui est aussi dix petites choses. Les jeux d'échange aident : « J'ai dix petits cubes; puis-je les échanger contre une barre? »
Les pièces de monnaie. Dix pièces d'un cent pour une pièce de dix cents est une version concrète de la même idée. Jouer au magasin avec un tas de pièces d'une unité et quelques pièces de dix donne une vraie raison de regrouper.
Écrire à deux endroits. Placez deux gobelets sur la table, l'un étiqueté « unités » et l'autre « dizaines ». Mettez des jetons dans les gobelets pour représenter un nombre. Quand le gobelet des unités atteint dix, échangez les dix jetons contre un seul dans le gobelet des dizaines. Cet « échange » montre le lien entre la position et la valeur.
La langue et les chiffres
Les mots-nombres peuvent aider ou nuire. En français, « vingt, trente, quarante, cinquante, soixante » suivent bien les dizaines, mais « soixante-dix », « quatre-vingts » et « quatre-vingt-dix » masquent un temps la structure en dizaines, puisqu'on y entend des additions et des multiplications. Pendant un moment, dites « trois dizaines et quatre unités » en même temps que « trente-quatre », et lisez les nombres de ces deux manières, pour que la structure s'entende.
Écrire les chiffres dans un tableau à colonnes (dizaines et unités) aide aussi, et c'est un beau moment quand l'enfant remarque qu'un zéro dans la colonne des unités signifie simplement « aucune unité ».
Des jeux qui construisent l'idée
Devine mon nombre. « J'ai 4 dizaines et 7 unités. Quel nombre suis-je? » Et à l'inverse : « Je suis 62. Combien ai-je de dizaines et d'unités? »
Plus grand ou plus petit. Tirez deux chiffres d'un sac, par exemple 3 et 8. Lequel forme le plus grand nombre à deux chiffres, 38 ou 83? Les enfants découvrent vite que le chiffre qu'on place en premier compte le plus.
La course à 100. Lancez un dé; ajoutez à votre tas autant d'unités. Chaque fois que vous atteignez dix, échangez contre un paquet. Le premier à cent gagne. Le jeu exerce le regroupement, l'échange et le comptage par dizaines.
La chasse aux nombres. Cherchez des nombres à deux chiffres à la maison, sur les portes, sur les autobus, dans les pages de livres, et dites chacun en « dizaines et unités ».
À garder en tête
La valeur de position est une grande idée, et il faut aux enfants des mois, parfois une année scolaire entière, pour s'y sentir à l'aise. Laissez-les manipuler des objets aussi longtemps qu'il le faut. Remarquez et soulignez les explications, pas seulement les réponses. Et soyez patient devant les erreurs : un enfant qui lit 34 comme « trois-quatre » n'est pas distrait, il est en train de comprendre l'un des systèmes les plus élégants que les humains aient inventés.
Quand un enfant peut regarder 34 et dire « ce sont trois dizaines et quatre unités, donc trente plus quatre », il a franchi un seuil important, et presque tout le calcul à venir, de la retenue dans l'addition à la division écrite, reposera là-dessus.
À essayer dans l'application
Pour pratiquer aussi à l'écran : Comparer des nombres à deux chiffres, Décomposer des nombres à trois chiffres, Ajouter et retrancher 10 ou 100. Vous aimerez peut-être aussi nos articles sur les stratégies de calcul mental et les décompositions de nombres.