Décompositions de 10 et de 20 avec des objets du quotidien

Demandez à un adulte à l'aise combien font 7 plus 8 : beaucoup répondront presque aussitôt. Demandez-leur comment ils ont fait, et vous entendrez souvent quelque chose comme « eh bien, 7 et 3 font 10, et 5 de plus, ça fait 15 ». Sans s'en rendre compte, ils ont utilisé ce que les enseignants appellent les décompositions d'un nombre : les paires de nombres qui forment un total donné. Cet article explique ce que sont ces décompositions, pourquoi elles pèsent autant dans les premières années et comment les construire à la maison avec des objets comme des pièces de monnaie, des boutons ou des boîtes d'œufs.

Écrit pour les enfants de 5 à 7 ans.

Ce qu'est une décomposition

Décomposer un nombre, c'est le voir comme fait de deux parties. Dix, c'est 6 et 4. C'est aussi 7 et 3, 5 et 5, 9 et 1, 10 et 0. Un même total peut être partagé de plusieurs façons, et les parties, remises ensemble, redonnent toujours le tout.

On représente souvent cela par un petit schéma, un cercle en haut pour le tout et deux cercles en dessous pour les parties, mais on peut s'en passer. L'important est l'idée : un tout peut être partagé en parties, et les parties peuvent être réunies. Cette seule idée se trouve derrière l'addition comme derrière la soustraction. Si 6 et 4 font 10, alors 10 moins 4 donne 6, et 10 moins 6 donne 4. Un seul fait, quatre phrases.

Pourquoi c'est important

L'enfant qui apprend l'addition surtout en comptant sur ses doigts peut obtenir les bonnes réponses, mais lentement, et la méthode cesse de fonctionner quand les nombres grossissent. Celui qui connaît ses décompositions manie les nombres avec souplesse :

• Passer par la dizaine. Pour calculer 8 + 5, l'enfant qui sait que 8 et 2 font 10 peut prendre 2 dans le 5, former une dizaine, puis ajouter les 3 qui restent : 13. Cette stratégie du « compléter à 10 » est l'une des plus utiles de tout le primaire.
• La soustraction. Savoir que 10, c'est 3 et 7 rend 10 − 3 très simple.
• La valeur de position. Voir 10 comme une unité complète prépare l'enfant à comprendre que dix unités forment une dizaine.
• La confiance. L'enfant qui voit que les nombres ont une structure n'affronte plus le calcul comme un tas de faits sans lien à mémoriser.

Dans bien des pays, les enseignants consacrent beaucoup d'efforts aux décompositions de 10 en maternelle et en 1re année, puis à celles de 20, parce que ces faits sont les plus utiles et les plus réutilisables que l'enfant apprendra.

Commencer petit, avec des objets

Avant d'écrire le moindre nombre, les enfants gagnent à voir et à manipuler des parties et des touts. Les objets du quotidien conviennent parfaitement.

Jetons bicolores ou pièces de monnaie. Prenez cinq pièces et laissez-les tomber sur la table : certaines tombent côté pile, d'autres côté face. Quatre faces et un pile, cela fait cinq. Secouez et relancez : trois faces et deux piles font aussi cinq. Les enfants voient vite qu'un total se partage de différentes façons, et que le total reste cinq.

La boîte d'œufs. Une boîte de dix (ou un moule à muffins ramené à dix cavités) est un contenant tout trouvé. Mettez des boutons dans les cavités, puis demandez : « Combien de cavités sont vides? » Six boutons dedans, quatre cavités vides. Votre enfant voit la décomposition de dix, puisque le tout, c'est la boîte.

Le jeu de cachette. Montrez dix boutons à votre enfant, puis cachez-en quelques-uns sous un gobelet pendant qu'il regarde. « Il y en avait dix. J'en vois six. Combien y en a-t-il sous le gobelet? » C'est une forme douce et visible de soustraction et de décomposition à la fois.

Les doigts. Les mains forment deux fois cinq doigts. Sept doigts, c'est « cinq et deux ». Montrer dix doigts et en replier quelques-uns pour trouver la partie manquante est une façon tout à fait respectable d'explorer les décompositions, pourvu que l'enfant apprenne peu à peu à voir les régularités sans avoir besoin de ses doigts.

Vers les faits numériques

Quand l'enfant est à l'aise avec les objets, vous pouvez parler des phrases mathématiques sans forcer la mémorisation.

Reliez toujours les parties au tout. Quand vous trouvez que 6 et 4 font 10, dites-le de plusieurs façons : « Six et quatre font dix. Dix, c'est six et quatre. Dix, moins quatre, égale six. » Plus l'enfant entend le même lien dit de manières différentes, plus il s'ancre solidement.

Suivez un ordre systématique. Écrivez ou construisez toutes les paires qui font 10 dans l'ordre : 0 et 10, 1 et 9, 2 et 8, 3 et 7, 4 et 6, 5 et 5, puis dans l'autre sens. Les enfants remarquent que quand une partie grandit, l'autre diminue d'autant, et que la liste se lit pareil à l'envers. Repérer des régularités, c'est déjà penser en mathématiques.

Pratiquez par petites touches. Une minute ou deux en marchant vers l'école ou en attendant le souper valent bien mieux qu'une longue séance. « Je pense à dix. J'en ai sept. Combien en as-tu? » Ce genre de jeu est rapide, ne demande rien et se joue partout.

Passez à 20. Quand les décompositions de 10 deviennent automatiques, étendez-les. Une bonne approche consiste à relier celles de 20 à ce que l'enfant sait déjà : si 7 et 3 font 10, alors 17 et 3 font 20, et 7 et 13 font 20. Les cadres à dix cases, ou deux boîtes d'œufs côte à côte, rendent ce prolongement visible.

Les doubles et les quasi-doubles

Certains faits sont plus faciles que d'autres, et il est utile de s'appuyer sur eux. Les doubles (4 et 4, 6 et 6) se retiennent plus facilement, car il y a une régularité et souvent une petite rime. Les quasi-doubles en découlent : 6 et 7, c'est « un de plus que 6 et 6 », donc 13. Inviter l'enfant à repérer ces raccourcis lui donne une boîte à outils de stratégies plutôt qu'une liste de faits.

Ce qu'il vaut mieux éviter

Faire répéter sans donner de sens. Les cartes éclair peuvent aider une fois la compréhension en place, mais si l'enfant ne voit pas encore que 10 se compose de parties, mémoriser « 6 + 4 = 10 » lui donne un fait sans rien dessous. Passez d'abord du temps avec les objets.

Interdire trop tôt le comptage. Les doigts et les jetons ne sont pas de la triche, ce sont des marchepieds. L'enfant s'en détachera quand il n'en aura plus besoin, généralement plus tôt que ses parents ne le pensent, s'il a eu assez de temps pour voir les régularités.

S'inquiéter de la vitesse. L'aisance vient de la compréhension et de la pratique. Pousser trop tôt vers la rapidité peut rendre un enfant anxieux et l'amener à deviner. L'exactitude et la souplesse viennent d'abord; la vitesse suit.

Un rythme hebdomadaire simple

Voici un plan réaliste pour une famille occupée. En début de semaine, jouez à la cachette avec dix objets. En milieu de semaine, dressez sur papier la liste des paires qui font 10 en dessinant des ronds de deux couleurs. La fin de semaine, posez quelques questions rapides en voiture ou en promenade : « Qu'est-ce qui va avec 3 pour faire 10? » Cinq ou dix minutes en tout, et un enfant qui bâtit une compréhension durable de la façon dont les nombres s'emboîtent.

Les décompositions n'ont l'air de rien. Mais l'enfant qui les connaît bien voit les nombres comme des amis souples, et cette confiance l'accompagnera dans tous les calculs qui suivront.

À essayer dans l'application

Pour pratiquer aussi à l'écran : Les amis du dix, Les faits jusqu'à cinq, Les décompositions jusqu'à 10. Vous aimerez peut-être aussi nos articles sur la perception instantanée des petites quantités et les stratégies de calcul mental.