Comparer des fractions sans règle à mémoriser

Demandez à un groupe d'adultes lequel est le plus grand, 3/8 ou 2/5 : plusieurs chercheront une règle, « produit croisé » ou « dénominateur commun ». Certains resteront bloqués. Comparer des fractions est une excellente épreuve de ce qu'une personne comprend vraiment des fractions, car la réponse peut se trouver en raisonnant sur la grandeur, et les enfants qui apprennent à raisonner ainsi gagnent bien plus d'assurance que ceux qui n'apprennent que des procédures. Cet article décrit les stratégies de raisonnement qui donnent du sens à la comparaison de fractions et comment les exercer à la maison.

Écrit pour les enfants de 8 à 11 ans.

Commencer par la grandeur d'une fraction

Une fraction dit la taille d'un morceau par rapport à un tout. Avant de comparer, l'enfant a besoin d'une image mentale de ce à quoi ressemble une fraction. S'il peut dessiner ¼ d'une pizza, ou placer ½ à mi-chemin sur une droite numérique de 0 à 1, il a les premiers éléments d'un sens de la grandeur des fractions. Si cette image est fragile, revenez en arrière et travaillez avec des bandes de papier ou des dessins (voir notre article sur le partage équitable et les fractions) avant de comparer.

Tout ce qui suit repose sur une idée que l'enfant doit vraiment posséder : plus on coupe un tout en parties égales nombreuses, plus chaque partie est petite. Un cinquième est plus petit qu'un quart, même si 5 est plus grand que 4.

Stratégie 1 : même dénominateur, comparer les numérateurs

Quand les fractions ont le même dénominateur, les morceaux ont la même taille; celle qui a le plus de morceaux est donc la plus grande. 5/8 est plus grand que 3/8, parce que cinq huitièmes, c'est plus que trois huitièmes. C'est le cas le plus simple et un point de départ naturel.

Stratégie 2 : même numérateur, comparer les dénominateurs

Quand les numérateurs sont égaux, le nombre de morceaux est le même, mais leur taille diffère. 3/4 et 3/8 : trois morceaux de la taille d'un quart contre trois morceaux de la taille d'un huitième. Les quarts sont plus gros, donc 3/4 est plus grand. Les enfants trouvent souvent cette stratégie surprenante, et dessiner les bandes la rend claire. C'est une bonne occasion de rappeler qu'un dénominateur plus grand signifie un morceau plus petit.

Stratégie 3 : utiliser des repères

Un repère est un nombre ami qui aide à juger. Les plus utiles sont 0, ½ et 1.

• Pour comparer 3/8 et 4/7, on se demande si chacune est plus ou moins que ½. La moitié de 8 est 4, donc 3/8 (moins de 4 morceaux sur 8) est inférieur à une moitié. La moitié de 7 est 3,5, donc 4/7 (plus de 3,5 morceaux sur 7) est supérieur à une moitié. L'un est sous la moitié et l'autre au-dessus : 4/7 est donc le plus grand, sans aucun calcul. (Quand les deux fractions sont du même côté d'un repère, comme 3/8 et 2/5, il faut une autre stratégie.)
• Pour comparer 5/6 et 7/8, on se demande de combien chacune est éloignée de 1. Il manque 1/6 à 5/6; il manque 1/8 à 7/8. Comme un huitième est plus petit qu'un sixième, 7/8 est plus proche de 1, donc plus grand.

L'idée « à quelle distance du tout? » est l'une des plus puissantes pour comparer des fractions, et elle donne un bon jeu en famille : « Lequel est le plus proche d'une pizza entière, 3/4 ou 4/5? »

Stratégie 4 : utiliser des fractions équivalentes

Quand aucun raccourci ne marche, les enfants peuvent chercher un dénominateur commun, mais il vaut mieux leur apprendre à voir pourquoi cela fonctionne que de leur faire suivre des étapes. Pour comparer 3/8 et 2/5, on coupe les deux touts en morceaux de même taille : des quarantièmes. 3/8 équivaut à 15/40, et 2/5 équivaut à 16/40. Les morceaux sont maintenant de même taille, et 16 est plus grand que 15, donc 2/5 est plus grand. Les enfants qui ont plié des bandes de papier et vu que ½ = 2/4 = 4/8 comprendront que fabriquer des fractions équivalentes revient à couper les morceaux en parties égales plus petites sans changer la quantité.

Stratégie 5 : les fractions unitaires comme briques

Une fraction unitaire a 1 au numérateur : 1/2, 1/3, 1/4, etc. Toutes les autres fractions s'en construisent : 3/4, ce sont trois morceaux d'un quart. Voir les fractions comme des fractions unitaires que l'on compte (comme on compte des pommes) aide à comparer : 3/4, ce sont « trois quarts », et 3/5 « trois cinquièmes »; comme un quart est plus grand qu'un cinquième, trois quarts valent plus que trois cinquièmes.

Ce que les enfants se trompent à faire, et pourquoi

La pensée en nombres entiers. L'enfant voit 1/8 et 1/6 et pense : « 8 est plus grand que 6, donc 1/8 est plus grand. » C'est l'erreur la plus courante et elle est naturelle, puisque jusque-là un nombre plus grand voulait toujours dire plus. Contrez-la avec des images et la question du partage : « Préfères-tu partager une pizza entre 6 personnes ou entre 8? »

Comparer les différences. L'enfant peut dire que 5/6 égale 7/8 parce que « chacune est à un morceau du tout ». Les morceaux sont de tailles différentes, donc les quantités manquantes aussi. Les bandes montrent qu'un sixième est plus grand qu'un huitième.

Une dépendance excessive à la procédure. L'enfant qui se précipite toujours vers un dénominateur commun pour 5/9 et 5/7 ne voit pas qu'avec des numérateurs égaux, le plus petit dénominateur donne les plus gros morceaux. Encouragez-le à regarder les nombres d'abord et à se demander : « Y a-t-il une façon rapide de le voir? »

Des jeux à pratiquer à la maison

Les bandes de fractions. Découpez des bandes de papier de même longueur et pliez-les ou marquez-les en moitiés, tiers, quarts, cinquièmes, sixièmes, huitièmes. Posez-les côte à côte. Demandez : « Laquelle est plus longue, 2/3 ou 3/5? » et vérifiez en superposant. Au bout d'un moment, les enfants commencent à prédire.

Plus près de un. Choisissez deux fractions et demandez laquelle est la plus proche d'un tout, et pourquoi. C'est rapide et ça ne demande rien.

La bataille des fractions. Chaque joueur tire une carte-fraction (ou en écrit une); celui qui a la plus grande fraction remporte les deux. Au début, permettez les bandes pour vérifier. Plus tard, mettez votre enfant au défi d'expliquer sans elles.

Ordonner les fractions. Écrivez cinq fractions sur des bouts de papier et demandez à votre enfant de les ranger du plus petit au plus grand sur une droite de 0 à 1 tracée au sol avec une ficelle. Discutez ensuite de tout désaccord.

Comparaisons en cuisine. « La recette demande ⅔ de tasse. En avons-nous plus ou moins dans cette mesure de ¾ de tasse? » Mesurer pour de vrai donne vie aux fractions.

Pourquoi le raisonnement vaut mieux que les règles

Les règles sont rapides et efficaces une fois comprises, et il n'y a aucune raison de les cacher. Mais une règle apprise sans compréhension s'oublie facilement, s'applique de travers et ne donne à l'enfant aucun moyen de voir qu'une réponse est déraisonnable. Les stratégies de raisonnement fonctionnent pour toute paire de fractions, développent un sens de la grandeur et préparent les enfants aux fractions plus avancées des années suivantes : additionner des fractions de dénominateurs différents, rapports et proportions.

La prochaine fois que votre enfant comparera deux fractions, demandez : « Comment le sais-tu? » et écoutez l'image qu'il a en tête. Si elle montre des morceaux de tailles différentes, il est bien en route.

À essayer dans l'application

Pour pratiquer aussi à l'écran : Comparer des fractions, Fractions équivalentes. Vous aimerez peut-être aussi nos articles sur le partage équitable et les fractions et la valeur de position.